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segunda-feira, 3 de maio de 2010

Arquimedes e a Quadratura da Parábola







Tradicionalmente, a geometria grega, desde seus primórdios, mais ou menos no século IV a. C. ou III a. C., vinha investigando processos de transformação de figuras curvas em retas, equivalentes. A quadratura do círculo, por exemplo, constituía um problema que vários matemáticos procuraram resolver. O grande matemático e filósofo grego Arquimedes (287 a. C. - 212 a. C.) (retratado na fotografia acima) dedicou-se profundamente a esse tipo de questão - e um dos seus principais livros sobre Matemática intitulou-se Tratado da Quadratura da Parábola.

A transformação do curvilíneo em retilíneo é feita por Arquimedes através do chamado método "de exaustão". Se um triângulo é inscrito num círculo, sua área é tão claramente menor que a do círculo quanto a do triângulo circunscrito é maior. No entanto - eis o procedimento adotado por Arquimedes - multiplicando-se o número de lados formados, inscritos e circunscritos, já aproximam-se da área do círculo. E com o multiplicar sucessivos dos lados, os polígonos assim formados apresentam áreas que crescem (para os inscritos) e diminuem (para os circunscritos), aproximando-se da do círculo, embora nunca coincidem com ela.

Arquimedes conseguiu ir multiplicando o número de lados dos polígonos até obter figuras de 96 lados; verificou que as áreas respectivas, apesar de cada vez mais próximos do círculo, eram sempre um pouco maiores ou um pouco menores. Havia aqui também um procedimento que subentendia a aproximação de um valor exato - a área do círculo; esta era um "limite" a ser atingido, uma "justa medida" que só permitia abordagens aproximadas. O que estava implícito nesse método de resolução de um problema geométrico era - como no caso do estabelecimento do valor do número pi - a existência de valores infinitesimais, que justificavam a gradativa variação de tamanhos e grandezas. Aqui também Arquimedes antecipa conquistas que a Matemática só efetivará plenamente no final do século XVII, com o cálculo infinitesimal do matemático e filósofo alemão Wilhelm Leibniz (1646-1716) e do matemático, físico e astrônomo inglês Sir Isaac Newton (1642-1727). (Em relação ao número pi, pode-se dizer que representa o quociente entre o comprimento de uma circunferência e seu respectivo diâmetro. Tal número é irracional e constante em todas as circunferências; seu valor é aproximadamente 3,1415926535897932384626...)

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